TZC 3012-Fibnacci Numbers（矩阵快速幂+降幂公式）

3012: Fibnacci Numbers

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描述

The fibnacci numbers are as follows:
f[1] = 1; f[2] = 2;
f[n] = f[n - 1] + f[n - 2];
And s[n] is defined:

Now ,give you the integer number a, x and n, you should calculate the ans, and the ans is defined as follows:
ans = a^s[x] % n;
You must pay attention to the range of the number: 1 ≤ a ≤ 100000000; 1 ≤ x ≤ 1000000000; 2 ≤ n ≤ 100000000.

输入

The input contains several test cases. For each test case, only line contains three integer numbers a, x and n separated by spaces.
The end of the input is indicated by a line containing three zeros separated by spaces.

输出

For each test case the output is only one integer number ans in a line.

样例输入

1 1 100 2 3 1000000 0 0 0

样例输出

1 16384

题目来源

HNU Monthly 2009.12

解题思路：首先要知道

1.先用斐波那契前n项平方和公式简化一下表达式; ans = a^(F(x)*F(x+1) - 1) % n

2.指数比较大，用降幂公式 a ^ b % c = a^(b%phi(c) + phi(c) ) % c

3.斐波那契的项数比较多(x比较大)，F(x)%phi(n)考虑矩阵快速幂取模解决

#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long  ll;
#define inf 1000000000
#define mod 1000000007
#define  maxn  100006
#define  lowbit(x) (x&-x)
#define  eps 1e-10
ll  a,n,x,ph;
struct node
{ll x[2][2];
}b,c;
ll ol(ll x)
{ll i,res=x;for(i=2;i*i<=x;i++){if(x%i)continue;res=res-res/i;while(x%i==0)x/=i;}if(x>1)res=res-res/x;return res;
}
node q2(node a,node b,ll MOD)
{node p;int i,j,k;for(i=0;i<2;i++)for(j=0;j<2;j++){p.x[i][j]=0;for(k=0;k<2;k++)p.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];p.x[i][j]%=MOD;}return p;
}
node q1(node x,ll y,ll MOD)
{node pp=c;while(y){if(y&1)pp=q2(pp,x,MOD);x=q2(x,x,MOD);y>>=1;}return pp;
}
ll q3(ll x,ll y,ll MOD)
{ll res=1;while(y){if(y&1)res=(res*x)%MOD;x=(x*x)%MOD;y>>=1;}return res;
}
void init()
{b.x[0][0]=b.x[0][1]=1;b.x[1][0]=1;b.x[1][1]=0;c.x[0][0]=c.x[1][1]=1;c.x[0][1]=c.x[1][0]=0;
}
int  main(void)
{node ans;init();while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&x,&n),a+x+n){ph=ol(n);ans=q1(b,x+1,ph);ll ans1=(ans.x[0][0]*ans.x[0][1]%ph+ph-1)%ph+ph;ll ans2=q3(a,ans1,n);printf("%lld\n",ans2);}return 0;
}
/*
400000 21 13
400000 400014 16384
*/

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