二分法、试位法、不动点迭代法、牛顿法、割线法

问题回顾
问题分析
1.二分法
2.试位法
3.不动点迭代
4.Newton-Raphson法
5.割线法
小结

问题回顾

一段质量均匀分布的电缆线悬挂在两点之间，构成一段悬链，其满足如下微分方程：

问题分析

1.二分法

首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断f(x)的符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够地小，便可求出满足精度要求的近似根。通过悬链最低点张力的唯一性，可以确定该区间只有一个根。

用 (xl,xr)来表示我们所感兴趣的根，初始为(1000,1500)，MATLAB脚本程序如下，保留10位有效数字。

clear;
x_l = 1000; % the initial value of the left bound of x is 1000
x_r = 1500; % the initial value of the right bound of x is 15000
x_m = mean([x_l,x_r]); % x_m is the mean value of the two bounds
x_g = 0; % x_g is the target value of the Bolzano method
e_a = 5e-11;
i = 0;
if f(x_l)*f(x_r)>0error('invalid input');
else
while (abs(x_g-x_m)/x_m>e_a) % tolerance of accuracy
if f(x_m)==0                 % find the accurate rootbreak;
elseif f(x_l)*f(x_m)<0x_r = x_m;               % update the new estimation to the intervalelsex_l = x_m;end
end
x_g = x_m;
x_m = mean([x_r,x_l]);
i = i + 1;
end
end
fprintf('x = %.17f  i = %d\n', x_m, i);

程序输出为

x = 1266.32436044747009873 i = 32

本例中用了 32 次迭代达到了保留10位有效数字的计算准则。下面用图表示出迭代过程。

2.试位法

与二分法不同，每次区间的划分点不在中点，而是两区间函数值点连线与 x 轴的交点，递归地做这样的划分求解最终的结果，图示结果附后。

clear;
x_l = 1000; % the initial value of the left bound of x is 1000
x_r = 1500; % the initial value of the right bound of x is1500
x_c = x_r; % x_c is the cross point of the two bound and the x-axis
x_t = 0; % x_t is the target ROOT of the eqation
e_a = 5e-11;
i = 0; % iteration tag
while (abs(x_t-x_c)/x_c>e_a)x_t=x_c; % update the target value with the cross pointif f(x_t)==0break;elsex_c = x_r - f(x_r)*(x_l-x_r)/(f(x_l)-f(x_r)); if f(x_c)*f(x_r)<0x_l = x_c;elsex_r = x_c;endendi = i+1;
end
fprintf('x = %.17f  i = %d\n', x_c, i);

程序输出为

x = 1266.32436040640868669 i = 16

本例中用了 16 次迭代达到了保留10位有效数字的计算准则。下面用图表示出迭代过程。

根据计算结果可以看到，此例中试位法较二分法更为快速地收敛到了想要的解，且并也已经出现“一个划界点保持不动”的现象。

3.不动点迭代

clear;
x_t = 1000;    % the initial is 1000
x_c = 0;
e_a = 5e-11;
for i=1:1000        % iteration tagx_c = f(x_t) + x_t;if(abs(x_c-x_t)/x_c<e_a) % tolerance of accuracybreak;endx_t = x_c;
end
fprintf('x = %.17f  i = %d\n', x_c, i);

程序输出为

x = 1266.32436009672028376 i = 115

本例中用了 115 次迭代达到了小数点后 10 位有效数字的计算准则。下面用图表示出迭代过程。

4.Newton-Raphson法

clear;
x_t = 1000; % the initial is 1000
x_c = 0;
e_a = 5e-11;
for i=1:1000   % iteration tagx_c = x_t-f(x_t)/df(x_t);if(abs(x_c-x_t)/x_c<e_a) % tolerance of accuracybreak;endx_t = x_c;
end
fprintf('x = %.17f  i = %d\n', x_c, i);

程序输出为

x = 1266.32436039988829179 i = 5

5.割线法

clear;
x_t = 1000; % the initial value of the second bound of x is 1000
x_r = 1500; % the initial value of the first bound of x is 1500
x_c = 0;
e_a = 5e-11;
i = 0; % iteration tag
while (abs(x_r-x_t)/x_t>e_a)x_c=x_t-f(x_t)*(x_t-x_r)/(f(x_t)-f(x_r)); % update the target if f(x_c)==0break;elsex_r = x_t; x_t = x_c;endi = i+1;
end
fprintf('x = %.17f  i = %d\n', x_c, i);

程序输出为

x = 1266.32436039988601806 i = 7

小结

本文由实际问题出发，按照题目要求的五种方法分别解了一个非线性的方程，作图比较了五种方法的收敛速度，并用每种方法都得到了最终的结果（有十位有效数字），x = 1266.324360，即悬链最低点的张力为1266.324360。

下面列表总结一下每种方法得到结果的情况：

方法名称	初始估计 1	初始估计 2	迭代次数
二分法	1000	1500	32
试位法	1000	1500	16
不动点迭代	1000	\	115
Newton-Raphson法	1000	\	5
割线法	1000	1500	7

二分法是最简单的方法，且易于在计算机上实现，对函数的条件要求也很低，只要求在有根区间上连续。缺点就是收敛速度较慢，本次实验进行了32次迭代得到结果，与公比为1/2的等比数列收敛速度相同。因此一般不单独使用，常用来为其他方法提供初值区间。

试位法作为二分法的改进，并不是单一的二分区间，而是利用区间两个端点的线性插值来求一个近似根，因此在大多数情况下优于二分法，收敛速度相对于二分法更快。但在实际计算中，如果区间内一阶导数值突然增长，函数图像有极大拐弯，且方程的根更靠近导数大的一侧，情况将会变得非常糟糕，出现“一个划界点保持不动”的现象，此时收敛速度会慢于二分法。本题中没有出现上述情况，进行了16次迭代后得到了结果。

为了减轻上述情况带来的影响，可以对试位法做出如下改进。如果一个端点重复两次或更多次作为新的含根区间的端点，我们将这个点的函数值乘以一个大于0小于1的常数因子w，比如可以取0.5，将停滞的边界点处的函数值变为原来的一半，能够使线性插值的根更接近于精确根。更加符合“试位”的思想。

不动点迭代法与前两种方法不同，只需要一个初始估计值。这种方法收敛较慢，本次实验迭代了115次才得出了最终结果。对初值的要求较高，需要提供较为近似的初始值x0.大多数情况下需要考虑迭代法的局部收敛性，在方成根的附近取初值。不动点迭代法是迭代法的基础，是一种一般性的方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。

Newton-Raphson法是经不动点迭代法变形而来的，是迭代法“收敛性”意义上的最优进化。牛顿法的速度很快，本次实验只用了5次迭代就得到了满足要求的解。它的最大优点是方程在单根附近有较高的收敛速度，且算法逻辑简单。但是由于牛顿法是局部收敛的，对初始估计的要求很高，如果没有估计合适，将会产生很差的结果，甚至无法得出答案。此外，牛顿法的每次迭代除了要计算函数值以外，还需要计算导数值，在导数较为复杂时，该方法会比较麻烦。

割线法是牛顿法和试位法的改进。类似于牛顿法，都是用差商估计斜率，但使用了两点的割线，避开了复杂的导数运算。采用两点投射到x轴上得到新的估计值的方法与试位法较为相似，但是初始估计不用界定根。收敛速度在中等到快，本次实验经过7次迭代后得到了结果。

对初始估计的要求很高，如果没有估计合适，将会产生很差的结果，甚至无法得出答案。此外，牛顿法的每次迭代除了要计算函数值以外，还需要计算导数值，在导数较为复杂时，该方法会比较麻烦。

总而言之，不同的求解方法各有千秋，我们需要结合实际问题来选择恰当的方法。