【NOJ1596、1597】【贪心算法之最小生成树】最少修建多长的公路能把所有村庄连起来（图示Prim与Kruskal算法）

1596.最少修建多长的公路能把所有村庄连起来（一）

时限：1000ms 内存限制：10000K 总时限：3000ms

描述

一个地区有n个村庄，有一些村子之间可以修路，已知每条路的长度，问最少修建多长的公路可以把所有的村子连接起来。

输入

先输入两个正整数n，m(n小于10000，m小于100000)，表示有n个村庄，m条可以修建的路，接下来的m行每行三个整数，前两个表示村庄的编号（0~n-1），第三个表示这条路的长度。

输出

输出路的总长度的最小值。

#include <iostream>
#include <climits>using namespace std;//本题选用Kruskal算法，因邻接矩阵顶点太多，边太少
//若用二维数组存放数据太浪费
//本题采用并查集判断两个顶点是否连通int n,m;int a[10000];    //并查集
int x[100000],y[100000],dis[100000];    //存放边
int isIn[100000];   //边是否已在集合中int fsearch(int x);         //返回并查集中x节点的根节点
void a_add(int x, int y);   //将两个顶点连通
bool isUn(int x, int y);    //判断x和y两个顶点是否连通int main()
{//Krustal算法+并查集//输入数据cin>>n>>m;for(int i=0; i<m; i++){cin>>x[i]>>y[i]>>dis[i];}//初始化for(int i=0; i<n; i++){a[i]=i;}//将边按权值升序排列for(int i=0; i<m; i++){for(int j=i; j<m; j++){if(dis[j]<dis[i]){swap(dis[j],dis[i]);swap(y[j],y[i]);swap(x[j],x[i]);}}}//按升序遍历边，加入集合，共m条边int dist=0;for(int i=0; i<m; i++){if(!isUn(x[i],y[i]))//若第i条边的两个顶点不连通{a_add(x[i],y[i]);   //将两个顶点连通dist+=dis[i];   //加入这条边的边长}else                //若已经连通则查看下一条边{continue;}}cout<<dist<<endl;return 0;
}int fsearch(int x)   //返回并查集中x节点的根节点
{int f=a[x];while(f!=a[f]){f=a[f];}a[x]=f;return f;
}void a_add(int x, int y)    //将两个顶点连通
{int kx=fsearch(x);int ky=fsearch(y);a[ky]=kx;
}bool isUn(int x, int y)     //判断x和y两个顶点是否连通
{int kx=fsearch(x);int ky=fsearch(y);if(kx==ky){return true;}else{return false;}
}

1597.最少修建多长的公路能把所有村庄连起来（二）

时限：1000ms 内存限制：10000K 总时限：3000ms

描述

一个地区有n个村庄，有一些村子之间可以修路，已知每条路的长度，问最少修建多长的公路可以把所有的村子连接起来。

输入

先输入一个正整数n(n小于500)，表示有n个村庄，接下来n行每行n个正整数，其中第i行第j列的元素表示第i个村庄到第j个村庄之间的距离。

输出

输出路的总长度的最小值。

#include <iostream>
#include <climits>using namespace std;//本题选用Prim算法，因邻接矩阵不稀疏int n,m;int dist[500][500]; //邻接矩阵
int isIn[10000];    //节点是否在集合中
int f[10000];       //权值：每个节点到集合的距离int mindist();   //返回当前离集合最近点的下标int main()
{//Prim算法cin>>n;for(int i=0; i<n; i++)  //输入数据{for(int j=0; j<n; j++){cin>>dist[i][j];}}//初始化isIn数组isIn[0]=1;  //将节点0加入集合for(int i=1; i<n; i++){isIn[i]=0;}//初始化各节点权值for(int i=1; i<n; i++){f[i]=dist[0][i];    //初始权值为到顶点i的距离}int dis=0;  //总距离for(int cnt=1; cnt<n; cnt++)    //每次for循环添加一个节点进集合{int x=mindist();   //返回离集合最近节点下标//cout<<x<<' '<<isIn[x]<<endl;isIn[x]=1;  //将该节点加入集合dis+=f[x];  //将权值加入总距离中//cout<<dis<<' ';for(int i=0; i<n; i++)  //更新各节点权值{if(!isIn[i])    //遍历不在集合中的节点{if(dist[x][i]<f[i]){f[i]=dist[x][i];//cout<<f[i]<<endl;}}}}cout<<dis<<endl;return 0;
}int mindist()    //返回当前离集合最近点的下标
{int min_i=1;int min_dist=INT_MAX;for(int i=1; i<n; i++){if(!isIn[i]){if(f[i]<min_dist){min_dist=f[i];min_i=i;}}}return min_i;
}

【后记】

1.最小生成树问题，有两种算法，Prim算法与Krustal算法

当e=Ω(n²)时，Prim算法性能好

当e=o(n²)时，Krustal性能好

2.Prim算法将顶点分为两个集合A和B，集合A中最初只有顶点0，其余顶点都在集合B中

集合B中每个顶点都有一个权值 f，f [ i ] 定义为“顶点 i 到集合A的最短距离”，初始值为“顶点 i 到顶点0的最短距离”

若顶点 i 到顶点0没有连接边，那么 f [ i ] 的初始值为INT_MAX，即无穷大，需要#include <climits>

开始for循环，每次循环，从集合B中选取一个权值最小的顶点X加入集合A，相当于顶点X已经与集合A中的各顶点连通，然后更新集合B中剩下的顶点权值

更新意义在于：顶点X已经从集合B加入了集合A，那么如果集合B中有一个顶点Y到顶点X的距离比它到集合A的距离更短，就要把顶点Y的权值更新成它到顶点X的距离

当for循环次数等于顶点数-1时，每个顶点都被加入了集合A，意味着所有顶点都连通起来

3.Kruskal算法，先将各条边按照距离值从小到大排列

开始for循环，每次循环选取一条距离值最小的边，判断一下这条边两端的顶点A和顶点B是否连通

如果A和B不连通，就把它们连通起来，确定添加这条边

如果A和B连通，就删除这条边不添加（否则会形成回路），查看下一条边

当循环次数等于边数时，所有边都被查看了一遍，要么添加要么删除，最后所有顶点都连通起来，并且没有回路

4.在Kruskal算法中，需要判断一条边的两个顶点是否连通，这里用到了并查集

并查集可以用一个数组a[]表示，a [ i ] = i 表示节点 i 为根节点

若一条边的顶点A和顶点B的根节点相同，说明两个顶点在一棵树上，即连通

若顶点A和顶点B的根节点不同，说明不连通，那么在Kruskal算法中需要让A和B连通，此时只需求A的根节点root(A)，B的根节点root(B)，令a[ root(A) ] = root(B)就可以，具体代码如下：


for(int i=0; i<n; i++)    //初始化并查集
{a[i]=i;    //每个节点都是自己的根节点
}int fsearch(int x)   //返回并查集中x节点的根节点
{int f=a[x];while(f!=a[f])    //只有a[f]==f时，f才是根节点{f=a[f];}a[x]=f;    //更新x的根节点，让其直接指向freturn f;
}void a_add(int x, int y)    //将两个顶点连通
{int kx=fsearch(x);    //x的根节点int ky=fsearch(y);    //y的根节点a[ky]=kx;    //让ky的根节点变成kx
}