【总结】模拟退火算法（随机化）

模拟退火

模拟退火是一种玄学的随机算法。当问题的方案数量极大（甚至趋近于无穷）而且并不是一个单峰函数的时候，用模拟退火求解。

模拟转移的过程

退火指的是一种金属热处理工艺，将金属缓慢加热到一定的温度，保持足够的时间然后以十一速度冷却，降低硬度。由于退火的规律引入了很多随机的因素，得到最优解的概率会大大增加。

如果新状态的解更优则修改答案，否则以一定概率接受新状态。

设当前温度为TTT，新状态和已知状态（由已知状态通过随机的方式得到）之间的能量差为ΔE\Delta EΔE 。（能量差总大于0）则修改最优解的概率为

P(ΔE)={1新状态更优e−ΔET新状态更劣{\large P(\Delta E)=\left\{\begin{matrix} 1~~~~~~~~~~~~~~~~~新状态更优 \\ e^{- \frac{\Delta E}{T} ~~~~~~~~~~~~~~~~~{\large 新状态更劣} } \end{matrix}\right. }P(ΔE)={1 新状态更优e−TΔE 新状态更劣

模拟降温的过程

设：初始温度T0T_0T0，降温系数ddd，终止温度TkT_kTk。

其中，T0T_0T0是大正数，一般和数据范围有关。TkT_kTk是一个接近000的正数。

ddd是一个非常接近111但是小于111的正数。(根据我的做题经验，一般上需要不停的调ddd的大小进行控温，和机械公敌兰博的红温一样，一般上是0.9960.9960.996或者0.970.970.97)。这有关于查询的精度，有时候ddd的精度决定这题的分数，所以很重要。

首先让温度T=T0T=T_0T=T0，然后按照上述步骤进行一次转移尝试。

再让T=d∗TT=d*TT=d∗T。如果T≤TkT\le T_kT≤Tk，则模拟退火的过程结束。

为了使解更精确，我们通常不采用当前解作为答案，而是在模拟退火过程中维护遇到的所有最优解的值。通常可见到一道题跑了好几遍模拟退火。

//伪代码 -littlefools 2022.4.26
simulate_anneal(){随机一个初始点;for(double T=10000;T>1e-4;T=T*0.997){在当前点周围随机一个点;delta=function(new)-function(now);if() 跳到新点;  }
}

如何控时？

为了不让我们跑了好多遍的模拟退火变成TLETLETLE丢掉所有的分数，我们必须进行控时。在C++中有一个clock()clock()clock()函数，可以返回程序的运行时间。

while((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<MAX_TIME) simulate_anneal();

这样子就会一直跑模拟退火直到它的用时即将超出时间限制。一般都是1s1s1s，至于能不能找到就看RPRPRP了。

如何等概率操作？

double rand(double l,double r){return (double)rand()/RAND_MAX*(r-l)+l;//rand()/RAND_MAX 是在0-1范围内取一个概率。//*(r-l)+l 则可以得到[l,r]区间内等概率的一个点。
}

例题：[JSOI2004]费马点

有nnn个重物，每个重物系在一条足够长的绳子上。每条绳子自上而下穿过桌面上的洞，然后系在一起。图中XXX处就是公共的绳结。假设绳子是完全弹性的（不会造成能量损失），桌子足够高（因而重物不会垂到地上），且忽略所有的摩擦。问绳结X最终平衡于何处。

文件的第一行为一个正整数n（1≤n≤1000）n（1≤n≤1000）n（1≤n≤1000），表示重物和洞的数目。接下来的nnn行，每行是333个整数:Xi.Yi.WiXi.Yi.WiXi.Yi.Wi，分别表示第iii个洞的坐标以及第iii个重物的重量。(−10000≤x,y≤10000,0<w≤1000-10000≤x,y≤10000, 0<w≤1000−10000≤x,y≤10000,0<w≤1000 ) 。输出最终平衡状态的(x,y)(x,y)(x,y)坐标。保留两位小数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x[1000000],y[1000000],w[1000000];
double ansx,ansy,answ;
double energy(double xx,double yy){double r=0,ddx,ddy;for (int i=1;i<=n;i++){ddx=xx-x[i]; ddy=yy-y[i];r+=sqrt(ddx*ddx+ddy*ddy)*w[i];}return r;
}
void anneal(){for (double t=3000;t>1e-15;t*=0.997){//大于一个极小值double dx=ansx+(rand()*2-RAND_MAX)*t,dy=ansy+(rand()*2-RAND_MAX)*t;double ew=energy(dx,dy),delta=ew-answ;if (delta<0){ansx=dx;ansy=dy;answ=ew;} //此答案更优else if(exp(-delta/t)*RAND_MAX>rand()){ansx=dx;ansy=dy;}//否则以一定概率接受t*=0.996;//徐徐降温}
}
int main() {cin>>n;for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&w[i]);ansx+=x[i];ansy+=y[i];}ansx/=n;ansy/=n;answ=energy(ansx,ansy);for(int i=1;i<=5;i++) anneal();//需要跑多次模拟退火确定答案。printf("%.3lf %.3lf\n",ansx,ansy);return 0;
}