题解-路径数+算法-回荡dp

Description

题目背景
Euphemia\texttt{Euphemia}Euphemia 到一个 N×NN\times NN×N 的药草田里采药，她从左上角的格子田（第一行，第一列）出发，要到达右下角（第 NNN 行，第 NNN 列）的格子田，每次她可以走到与当前格子有边相邻的格子去，但她不会走已经走过的格子，而且出于对美的要求，她走过的路径是关于左下-右上对角线对称的。由于地势不同，在每个格子田采药都会有一个疲劳度 Ti,jT_{i,j}Ti,j，Euphemia\texttt{Euphemia}Euphemia 想知道：有多少条合法路径，可以使得她采药的疲劳度最小。
输入格式：
多组测试数据。
每组数据第一行一个整数 NNN，接下来 NNN 行，每行 NNN 个非零数字（1,2,3...91,2,3...91,2,3...9 中一个），表示格子田的疲劳度。
当 N=0N=0N=0，输入结束。
输出格式：
对于每组数据，输出一个整数表示答案，答案%1000000009\%1000000009%1000000009。
样例输入：
2
1 1
1 1
3
1 1 1
1 1 1
2 1 1
0
样例输出：
2
3
数据范围：
对于 20%20\%20% 的数据满足 N≤5N\le5N≤5。
对于另外 20%20\%20% 的数据满足 N≤40N\le40N≤40。
对于 100%100\%100% 的数据满足 N≤100N\le100N≤100，不超过 505050 组数据。

Introduction

这题很容易骗分：

如果用 dfs\texttt{dfs}dfs 暴力枚举路径骗分，可以骗到 20分\color{#f34c05}\texttt{20分}20分。

如果用错误的思路 Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n2) 来 dp\texttt{dp}dp，也能骗到 60分\color{#ffcc00}\texttt{60分}60分（只往右下角走，不回头）。

Solution

先找路径最小权值

首先因为要从左下角走到右下角并且路线根据左下-右上的对角线对称，所以相对于每个格子的权值为：

vali,j={Ti,j+TN−j+1,N−i+1(i+j<N+1)Ti,j(i+j==N+1)val_{i,j}= \begin{cases} T_{i,j}+T_{N-j+1,N-i+1}(i+j<N+1)\\ T_{i,j}(i+j==N+1) \end{cases} vali,j={Ti,j+TN−j+1,N−i+1(i+j<N+1)Ti,j(i+j==N+1)

然后对于 i+j>N+1i+j>N+1i+j>N+1 的格子就不用考虑了，只需要考虑从 (1,1)(1,1)(1,1) 左上角走到 i+j==N+1i+j==N+1i+j==N+1 的格子的最小权值路径即可。

找最短路径要用到的算法是：回荡 dp\texttt{dp}dp。

因为该算法是本蒟蒻考场上急中生智想出来的，所以就给它取了个奇怪的名字。

因为题目并没有说只能像下-左走，所以可能出现如下恶心数据：

10
1 1 1 1 1 9 9 9 9 9
9 9 9 9 1 9 9 9 9 9
9 9 1 1 1 9 9 9 9 9
9 9 1 9 9 9 9 9 9 9
9 9 1 1 1 1 9 9 9 9
9 9 9 9 9 1 9 1 1 1
9 9 9 9 9 1 9 1 9 1
9 9 9 9 9 1 1 1 9 1
9 9 9 9 9 9 9 9 9 1
9 9 9 9 9 9 9 9 9 1
0

这时的最小权值路径应该是沿着图中的 111 走。如果用普通的 dp\texttt{dp}dp，就会很难找到一个合适的递推顺序。

但是因为它这样拐的弯最多只有 nnn 个，所以可以考虑这样做：

重复 nnn 次

从左上角到对称轴顺序 dp\texttt{dp}dp。
从对称轴到左上角逆序 dp\texttt{dp}dp。

这样就保证可以覆盖到任何路径了。记 fi,j(i+j≤N+1)f_{i,j}(i+j\le N+1)fi,j(i+j≤N+1) 表示 (1,1)(1,1)(1,1) 到 (i,j)(i,j)(i,j) 的路径最小权值，所以这里可以有一个小的优化，如果一次正序和一次逆序 dp\texttt{dp}dp 都没有改变任何 fi,jf_{i,j}fi,j 的值，则停止重复正序逆序回荡 dp\texttt{dp}dp。

Code:

//...
bool zxf(){//左上角到对称轴bool res=0;for(int i=3;i<=n+1;i++)for(int x=1;x<i;x++){int y=i-x;if(min(f[x][y-1],f[x-1][y])+val(x,y)<f[x][y])f[x][y]=min(f[x][y-1],f[x-1][y])+val(x,y),res=1;}return res;
}
bool fxf(){//对称轴到左上角bool res=0;for(int i=n;i>=2;i--)for(int x=1;x<i;x++){int y=i-x;if(min(f[x][y+1],f[x+1][y])+val(x,y)<f[x][y])f[x][y]=min(f[x][y+1],f[x+1][y])+val(x,y),res=1;}return res;
}
//...
void dp(){//...memset(f,0x3f,sizeof f);f[1][1]=val(1,1);for(int i=1;i<=n;i++)if(!zxf()&&!fxf()) break;//空回荡优化//...
}
//...

然后统计最小权值路径数

思路类似，记 gi,j(i+j≤N+1)g_{i,j}(i+j\le N+1)gi,j(i+j≤N+1) 表示从 (i,j)(i,j)(i,j) 到对称轴 (x,y)(x+y==N+1)(x,y)(x+y==N+1)(x,y)(x+y==N+1) 上最小权值路径的条数。

首先找到 mn=min⁡{fi,j}(i+j==N+1)mn=\min\{f_{i,j}\}(i+j==N+1)mn=min{fi,j}(i+j==N+1)。找到所有满足 fi,j(i+j==N+1)==mnf_{i,j}(i+j==N+1)==mnfi,j(i+j==N+1)==mn 的 (i,j)(i,j)(i,j)，令 gi,j=1g_{i,j}=1gi,j=1。然后因为最短路径也会是绕来绕去的，所以再次回荡 dp\texttt{dp}dp 找最短路线经过的格子：

重复 nnn 次

从对称轴到左上角正序逆推 dp\texttt{dp}dp。
从左上角到对称轴逆序逆推 dp\texttt{dp}dp。

然后因为这里不是求最小值，容易重复计算路径，所有应用类似网络流的思想，记 fwi,j,k(i+j≤N+1,k∈{0,1,2,3})fw_{i,j,k}(i+j\le N+1,k\in\{0,1,2,3\})fwi,j,k(i+j≤N+1,k∈{0,1,2,3}) 表示 (i,j)(i,j)(i,j) 这个格子在 kkk 方向上已经递推了的 ggg 值，如果新一轮回荡中所有 fwi,j,kfw_{i,j,k}fwi,j,k 的值都没有改变，就优化——停止回荡。

Code:

//...
bool zxg(){//从左上角到对称轴逆序逆推dpbool res=0;for(int i=3;i<=n+1;i++)for(int x=1;x<i;x++){int y=i-x;if(f[x][y]+val(x-1,y)==f[x-1][y]&&g[x-1][y]>fw[x][y][0])(g[x][y]+=g[x-1][y]-fw[x][y][0])%=mod,fw[x][y][0]=g[x-1][y],res=1;if(f[x][y]+val(x,y-1)==f[x][y-1]&&g[x][y-1]>fw[x][y][1])(g[x][y]+=g[x][y-1]-fw[x][y][1])%=mod,fw[x][y][1]=g[x][y-1],res=1;}return res;
}
bool fxg(){//从对称轴到左上角正序逆推dp。bool res=0;for(int i=n;i>=2;i--)for(int x=1;x<i;x++){int y=i-x;if(f[x][y]+val(x+1,y)==f[x+1][y]&&g[x+1][y]>fw[x][y][2])(g[x][y]+=g[x+1][y]-fw[x][y][2])%=mod,fw[x][y][2]=g[x+1][y],res=1;if(f[x][y]+val(x,y+1)==f[x][y+1]&&g[x][y+1]>fw[x][y][3])(g[x][y]+=g[x][y+1]-fw[x][y][3])%=mod,fw[x][y][3]=g[x][y+1],res=1;}return res;
}
void dp(){//...mn=inf;for(int i=1;i<=n;i++)mn=min(mn,f[i][n+1-i]);memset(g,0x00,sizeof g);for(int i=1;i<=n;i++)if(f[i][n+1-i]==mn) g[i][n+1-i]=1;memset(fw,0x00,sizeof fw);for(int i=1;i<=n;i++)if(!fxg()&&!zxg()) break;//...
}
//...

最后答案就是 g1,1g_{1,1}g1,1，即 (1,1)(1,1)(1,1) 到对称轴上最小权值路径格子的路径数。即 (1,1)(1,1)(1,1) 到 (N,N)(N,N)(N,N) 的最小 Ti,jT_{i,j}Ti,j 和路径条数。时间复杂度是 Θ(N3)\Theta(N^3)Θ(N3)，如果有优化，应该 N=1000N=1000N=1000 的数据也过得了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;//@Start
const int inf=0x3f3f3f3f;//@Debug
void debug(int x,int y,int arr[][1010]){for(int i=1;i<=x;i++)for(int j=1;j<=y;j++)printf("%d%c",arr[i][j],"\n "[j<y]);
}//@DP
const int N=1010,mod=1e9+9;
int n,a[N][N],f[N][N],g[N][N],mn,fw[N][N][4];
int val(int x,int y){if(x+y==n+1) return a[x][y];return a[x][y]+a[n-y+1][n-x+1];
}
bool zxf(){bool res=0;for(int i=3;i<=n+1;i++)for(int x=1;x<i;x++){int y=i-x;if(min(f[x][y-1],f[x-1][y])+val(x,y)<f[x][y])f[x][y]=min(f[x][y-1],f[x-1][y])+val(x,y),res=1;}return res;
}
bool fxf(){bool res=0;for(int i=n;i>=2;i--)for(int x=1;x<i;x++){int y=i-x;if(min(f[x][y+1],f[x+1][y])+val(x,y)<f[x][y])f[x][y]=min(f[x][y+1],f[x+1][y])+val(x,y),res=1;}return res;
}
bool zxg(){bool res=0;for(int i=3;i<=n+1;i++)for(int x=1;x<i;x++){int y=i-x;if(f[x][y]+val(x-1,y)==f[x-1][y]&&g[x-1][y]>fw[x][y][0])(g[x][y]+=g[x-1][y]-fw[x][y][0])%=mod,fw[x][y][0]=g[x-1][y],res=1;if(f[x][y]+val(x,y-1)==f[x][y-1]&&g[x][y-1]>fw[x][y][1])(g[x][y]+=g[x][y-1]-fw[x][y][1])%=mod,fw[x][y][1]=g[x][y-1],res=1;}return res;
}
bool fxg(){bool res=0;for(int i=n;i>=2;i--)for(int x=1;x<i;x++){int y=i-x;if(f[x][y]+val(x+1,y)==f[x+1][y]&&g[x+1][y]>fw[x][y][2])(g[x][y]+=g[x+1][y]-fw[x][y][2])%=mod,fw[x][y][2]=g[x+1][y],res=1;if(f[x][y]+val(x,y+1)==f[x][y+1]&&g[x][y+1]>fw[x][y][3])(g[x][y]+=g[x][y+1]-fw[x][y][3])%=mod,fw[x][y][3]=g[x][y+1],res=1;}return res;
}
void dp(){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);memset(f,0x3f,sizeof f);f[1][1]=val(1,1);for(int i=1;i<=n;i++)if(!zxf()&&!fxf()) break;// debug(n,n,f);mn=inf;for(int i=1;i<=n;i++)mn=min(mn,f[i][n+1-i]);memset(g,0x00,sizeof g);for(int i=1;i<=n;i++)if(f[i][n+1-i]==mn) g[i][n+1-i]=1;memset(fw,0x00,sizeof fw);for(int i=1;i<=n;i++)if(!fxg()&&!zxg()) break;printf("%d\n",g[1][1]);
}//@Main
int main(){// freopen("100.in","r",stdin);scanf("%d",&n);while(n) dp(),scanf("%d",&n);//多组测试数据return 0;
}

祝大家学习愉快！