背景介绍

最近看B站看到有这样一个题。
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ∞ = ? 1+2+3+4+\dots +\infty=? 1+2+3+4+⋯+∞=?
这不是很简单吗？没有上限，那么肯定还是 ∞ \infty ∞喽。

诶，和我想的一样。但是数学题是不能用直觉来做的，需要深入思考。

解题方法

首先设3个数：
S 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 … S_1=1-1+1-1+1\dots S1=1−1+1−1+1…
S 2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 … S_2=1-2+3-4+5\dots S2=1−2+3−4+5…
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 … S=1+2+3+4+5\dots S=1+2+3+4+5…

然后依次求解。首先是 S 1 S_1 S1。
我们得找个位置让它停下来，比如说偶数位，那么是0，如果是奇数位，那么是1。这就比较麻烦，所以，由于是无穷，可以看做是停在奇数位和偶数位的可能是一样的，完全一样。因此，可以得出，其和就是1和0的平均数，即 1 2 \dfrac{1}{2} 21。
也许这样的解释并不能让人满意，因此再提供一种可靠的思路。因为 S 1 S_1 S1真的非常重要。

看这个图，如果能找到一个 p p p，使得 0 < p < 1 0< p<1 0<p<1，那么可以将其分成 p , ( 1 − p ) p,(1-p) p,(1−p)两部分。然后依次类推，然后加起来趋向1，最后可以得到：
( 1 − p ) + p ( 1 − p ) + p 2 ( 1 − p ) ⋯ = 1 (1-p)+p(1-p)+p^2(1-p)\dots=1 (1−p)+p(1−p)+p2(1−p)⋯=1
两边除以 ( 1 − p ) (1-p) (1−p)得：
1 + p + p 2 + p 3 ⋯ = 1 1 − p 1+p+p^2+p^3\dots=\dfrac{1}{1-p} 1+p+p2+p3⋯=1−p1
然而这个式子虽然发现是在1和0之间，如果不取1，则仍然有意义，因此可以将 p = − 1 p=-1 p=−1代入。
1 − 1 + 1 − 1 + 1 ⋯ = 1 2 1-1+1-1+1\dots=\frac{1}{2} 1−1+1−1+1⋯=21
故， S 1 = 1 2 S_1=\frac{1}{2} S1=21

然后看 S 2 S_2 S2。
这时我们不需要在无穷的地方考虑了。我们想，将2个 S 2 S_2 S2加起来。即：
1 − 2 + 3 − 4 + 5 … \,\,\,\,1-2+3-4+5\dots 1−2+3−4+5…
+ 1 − 2 + 3 − 4 + 5 … +1-2+3-4+5\dots +1−2+3−4+5…
诶，肯定不是这么加，这样和*2没什么区别。因此将其错位：
1 − 2 + 3 − 4 + 5 … \,\,\,\,1-2+3-4+5\dots 1−2+3−4+5…
+ 1 − 2 + 3 − 4 + 5 … \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+1-2+3-4+5\dots +1−2+3−4+5…
然后上下对位相加可得：
1 − 1 + 1 − 1 + 1 ⋯ = S 1 = 1 2 1-1+1-1+1\dots=S_1=\frac{1}{2} 1−1+1−1+1⋯=S1=21
然后由于我加了两次的 S 2 S_2 S2，除以2即可。因此：
S 2 = 1 4 S_2=\frac{1}{4} S2=41。

最后，用 S 2 S_2 S2来求解 S S S。
这时，我们用 S − S 2 S-S_2 S−S2，得：
1 + 2 + 3 + 4 + 5 … \,\,\,\,\,\,1+2+3+4+5\dots 1+2+3+4+5…
− ( 1 − 2 + 3 − 4 + 5 … ) -(1-2+3-4+5\dots) −(1−2+3−4+5…)
上面我又进行了对齐的处理，然后可以依次相减，得到：
0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 … \quad0+4+0+8+0+12\dots 0+4+0+8+0+12…
= 4 + 8 + 12 … =4+8+12\dots =4+8+12…
= 4 ( 1 + 2 + 3 + 4 … ) =4(1+2+3+4\dots) =4(1+2+3+4…)

这时答案已经出来了，因为括号中的部分就是 S S S，因此可以列方程得：
S − S 2 = 4 S S-S_2=4S S−S2=4S
而 S 2 = 1 4 S_2=\frac{1}{4} S2=41
所以解得 S = − 1 12 S=-\frac{1}{12} S=−121

感悟

？？？是不是不可思议，居然还是个负数。
而这个结果在物理学各方面都运用广泛。

一遍又一遍地品读，不仅没有bug，又绽放出了数学之美，奇妙啊！！

当然，如果你用计算器按出 S S S的结果，是不可能的。因为你无法到达无穷，但是数学可以。
看完这个视频，不由得感慨，太妙了。

所有正整数的和是多少？相关推荐

NYOJ 90 —— 求正整数n划分为若干个正整数的划分个数
整数划分时间限制:3000 ms | 内存限制:65535 KB 描述将正整数n表示成一系列正整数之和:n=n1+n2+-+nk, 其中n1≥n2≥-≥nk≥1,k≥1. 正整数n的这种表 ...
python任意输入一个正整数、判断该数是否为素数_Python编程判断一个正整数是否为素数的方法，python素数...
Python编程判断一个正整数是否为素数的方法,python素数本文实例讲述了Python编程判断一个正整数是否为素数的方法.分享给大家供大家参考,具体如下: import string impor ...
Console-算法[if,while]-一输入两个正整数m和n，求其最大公约数和最小公倍数
ylbtech-Arithmetic:Console-算法[if,while]-一输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数 1.A,Demo(案例) 输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小 ...
PHP教程中验证正整数is_int($value+0)，为什么要这样？
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 最近学习PHP应用,其中有一段是要验证变量是否为正整数,除了is_numeric($value)外,还要加上is_int($v ...
L1-025 正整数A+B
不确定的点: 1.数据用什么类型输入,如果用字符串类型输入,怎么判断它是不是正整数 2.怎么判断哪部分是A,哪部分是B 解析 c语言'\0' 意思: 字符常量占一个字节的内存空间.字符串常量占的内存字 ...
ACMNO.7 输入两个正整数m和n，求其最大公约数和最小公倍数。输入两个整数输出最大公约数，最小公倍数样例输入 5 7 样例输出 1 35
题目描述输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数. 输入两个整数输出最大公约数,最小公倍数样例输入 5 7 样例输出 1 35 来源/分类 C语言示例照片: 设计思路: 本题最难的 ...
Python算法题----求出和为S的所有连续正整数数列
从1开始,求出所有的和为21的连续正整数数列.比如1+2+3+4+5+6 和为 21, 6+7+8和为21. 解法:该题目仍然需要首尾两个指针,一个为start,一个为end.sum=start+en ...
c语言fac函数求n的阶乘,急求C语言编辑题：Cnm=n!/m!(n-m)!其中n，m 由键盘输入。要求设计一个函数fac(n)求某个正整数n 的阶乘。...
急求C语言编辑题:Cnm=n!/m!(n-m)!其中n,m 由键盘输入.要求设计一个函数fac(n)求某个正整数n 的阶乘. 來源:互聯網 2010-05-29 01:44:10 評論分類: 電 ...
LeetCode 41. First Missing Positive--Python 解法--数学题-找到不存在的最小正整数-O(1)空间复杂度
题目地址:First Missing Positive - LeetCode Given an unsorted integer array, find the smallest missing po ...
js判断输入是否为正整数、浮点数等数字的函数代码
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 1.下面列出了一些判读数值类型的正则表达式 /^\d+$/ //非负整数(正整数 + 0) /^[0-9]*[1-9][0- ...

所有正整数的和是多少？

背景介绍

解题方法

感悟

所有正整数的和是多少？相关推荐

最新文章

热门文章