自相关矩阵和互相关矩阵的matlab实现

一维实值信号x的自相关矩阵Rxx应为实对称的toeplitz矩阵，而一维实值信号x,y的互相关矩阵Rxy为非对称的toeplitz阵，matlab提供的corrmtx函数产生的并非通常意义下的autocorrelation matrix
事实上，我们可以利用xcorr+toeplitz和corrmtx两种方法实现自相关阵Rxx和互相关阵Rxy

一、 Rxx
1)% implementation with xcorr and toeplitz
m= 256;% dfine the time lag m+1, and m+1<=n;
n=length(x);%location of rxx(0);
rx=xcorr(x);%length of rx is 2*n-1;
Rxx=toeplitz(rx(n:n+m))/n;
2)%implementation with corrmtx
m= 256;% dfine the time lag m+1,and m+1<=n
rx=corrmtx(x,m);
Rxx=rx'*rx;
二、Rxy
1)% implementation with xcorr and toeplitz
m= 256;% dfine the time lag m+1, and m+1<=n;
n=max(length(x),length(y));location of rxy(0);
rxy=xcorr(x,y);%length of rxy is 2*n-1;
RR=toeplitz(rxy)/n;%RR is a (2*n-1)*(2*n-1) matrix
Rxy=RR(1:m,n:n+m);%the exact location of Rxy in RR;
2)% implementation with corrmtx
m= 256;% dfine the time lag m+1, and m+1<=n;
rx=corrmtx(x,m);
ry=corrmtx(y,m);
Rxy=rx'*ry; %on the other hand, Ryx=Rxy'

上面的方法实现了自相关和互相关的有偏矩估计（实际是用fft实现卷积的前提下做到的），也是做统计分析的常用手段，当然除了有偏矩估计，corrmtx还有很多可选参数，以供不同目的使用。
还有Rxy=Ryx'，也就是说要求Ryx，只需要计算Rxy即可。
需要注意的是，当时延m+1接近于信号长度n的时候，xcorr后面的值（rx(m+1),rx(m),
r(m-1)...）估计的并不准确，这将严重影响滤波器设计等后续工作的效果，可以确信的是，n-m-1>100的时候，Rxx是可信的。
另外，自相关阵Rxx是一个主对角线绝对占优阵，也就是说，主对角线的值远大于其它对角线
这样svd(Rxx)得到的奇异值和eig(Rxx)得到的特征值几乎相同，这也是为什么有的论文用svd方法求主分量，有的则用evd（eigen value decomposition）求主分量了。

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