SPRT-Sequential Probability Ratio Test

文章目录

sprt
- 参考文献1理解：
- - 边界值来源
  - 边界值推导
- 参考文献3理解：
- 参考文献4理解：

sprt

数学统计工具，首先介绍一下
参考文献1
参考文献2
参考文献3
参考文献4

参考文献1理解：

边界值来源

使用一个简单的例子，两个供应商提供零件，A供应商的零件寿命为µ1= 15，B供应商的零件寿命µ2 = 20，通过一个测试判断零件是属于A还是属于B。
满足条件：
- 如果零件属于A,但是被认为是B的概率小于å1 = 0.01
- 如果零件属于B,但是被认为是A的概率小于å2 = 0.05
当成是两个单边测试。

对于A而言，测试结果如下图：

c1 是表现å1的重要指标

如果测试结果比c1小，那么认为零件来自A
如果测试结果大于c1，那么零件不来自A

对于B而言，测试结果如下图：

同理，c2就是表现å2的重要指标

如果测试结果小于c2，那么认为零件不来自B,
如果测试结果大于c2，那么认为零件来自B.

实际测试

结果可能如下：

x1 小于c2，那么接收零件来自供应商A
x3 大于c1，那么接收零件来自供应商B
如果介于两者之间，继续观察，需要下一步数据。

边界值推导

假设两个供应商的零件使用寿命服从指数分布，定义两个变量,θA = μA ,θB = μB
那么指数分布概率密度为… … … … … … … … … eqn1：

在一段时间内，如果零件属于供应商A，这个事件的概率为… … … … … … … … … eqn2：

如果零件属于供应商B，这个事件的概率为… … … … … … … … … eqn3：

如果零件确实属于供应商A,那么公式2的值会远远大于公式3，上述两个概率比的对数为… … … … … … … … … eqn4:

更多的采样，这个相似比就为… … … … … … … … … eqn5：

如果比率R大于临界值U，则样本来自卖方B的机会比样本来自卖方A的机会大得多。我们可以得出结论，样本来自卖方B。

如果比率R小于临界值L，则样本来自卖方A的机会比样本来自卖方B的机会要大得多。我们可以得出结论，样本来自卖方A。

如果比率R在L和U之间，则无法得出结论。需要更多样品。

如何确定两个边界值U和L呢
他们的取值需要参考两个参数å1，å2- significance level，分别为一类错误和二类错误- - -Type I error。

当比例小于L，我们接收样本来自A; 这时我们做出正确决定的概率大于1-å1；
做出错误决定的概率小于å2。
å1这里指的就是一类错误
å2就是二类错误

当接收样本属于A有公式… … … … … … … … … eqn7:

公式… … … … … … … … … eqn8:

结合公式78，另

同理，如果接收样本来自B ，那么

整理结论：
上述公式推论可得出

L = ln(å2 /(1- å1))
U =ln(1-å2/å1)

参考文献3理解：

假设有一组离散数据，x1,x2，…或者是符合某个分布函数的f的连续变量。
两个假设H0 : f = f0
H1: f = f1

经典的概率比测试中，设置一个阈值k,如果λ > A, 接收H0, 如果小于A，那么接收H1。

A.Wald，提出设置两个阈值A, B，如果λ< A那么接收H0，如果λ>B,那么接收H1，否则介于两者之间可以继续观察。

参考文献4理解：

有一组假设/数据，我们需要做出决定，接受或者拒绝。
sprt的思想是一次收集一个观察值，如果x=x1，需要决定：

接受这个假设，结束观察
拒绝这个假设，结束观察
推迟决定，直到在收集一次观察

问题是如何作出决定。
提出两种错误：

提出假设H0: θ = θ0；
H1 : θ = θ1.
公式：

如果Λn > B, 接收H1；
如果Λn < A，接收H2;
如果A < Λn < B，继续下一次观察。
优点是：做出决定之前，最小化平均样本量，没有在更大范围内进行测试。
关于A, B的取值：