批处理作业调度【回溯算法】

问题描述

给定n个作业的集合 J=（J1J_1J1，J2J_2J2，……，JnJ_nJn）。每个作业JiJ_iJi都有两项任务分别在两台机器上完成。每个作业必须先由机器1处理，再由机器2处理。作业JiJ_iJi需要机器j的处理时间为tijt_{ij}tij（i=1,2，……，n；j=1,2）。对于一个确定的作业调度，设FjiF_{ji}Fji是作业i在机器j上完成处理的时间，则所有作业在机器2上完成处理的时间和f = ∑i=1nF2i\sum_{i=1}^{n}{F_{2i}}∑i=1nF2i称为该作业调度的完成时间和。可以证明，当作业以相同次序在机器1和机器2上完成处理时，可以得到一种最佳调度，即使该作业调度的完成时间和最小。（证明略）

问题解读

对于给定的n个作业，指定最佳作业调度方案，使其完成时间和最小，因此是求一个最优值。
调度必须遵循：
① 一个作业必须先由机器1处理，再由机器2处理，顺序不可颠倒；
② 机器1处理n个作业的顺序必须和机器2处理n个作业的顺序相同（因为只有这样才能使作业调度的完成时间和最小）。
由于是一种作业调度顺序的方案，因此该问题的解空间树是排列树。

实例分析

如下图，给出了3个作业分别需要机器1和机器2的处理时间，试给出一种调度方案，使该作业调度的完成时间和最小。

解：3个作业可能的调度顺序有6种：1→2→3、1→3→2、2→1→3、2→3→1、3→1→2、3→2→1。经过计算，它们的完成时间和对应为：19、18、20、21、19、19，因此最佳调度方案为1→3→2，其完成时间和为18。

解析：现在就来分析一下完成时间和怎样计算（以1→3→2调度为例）

假设是从零点开始的：

作业1先在机器1上处理，处理完后紧接着在机器2上处理。对应红线部分，这时作业1在机器2上完成处理的时间为2，F21F{21}F21=3;
作业2 需要在机器1上完成的任务可以紧接着作业1在机器1上处理，但需要在机器2上完成的任务就要看作业2在机器1上完成处理的时间晚，还是作业1在机器2上完成处理的时间晚。如图，显然作业2 需要在机器1上完成的任务完成的时间较晚，因此作业2需要在机器1上完成后才能在机器2上继续完成。作业2的处理对应蓝线部分，这时作业2在机器2上完成处理的时间为2，F22F{22}F22=7;
同作业2的处理情况，作业3 需要在机器1上完成的任务可以紧接着作业2在机器1上处理，但 需要在机器2上完成的任务就要看作业3在机器1上完成处理的时间晚，还是作业2在机器2上完成处理的时间晚。如图，显然作业3 需要在机器1上完成的任务与需要在机器2上完成的任务的完成时间相同，因此作业3在机器1上完成后可以紧接着在机器2上处理。作业3的处理对应绿线部分，这时作业3在机器2上完成处理的时间为2，F23F{23}F23=8;

综上，作业在机器2上完成处理的时间和为：f = ∑i=13F2i\sum_{i=1}^{3}{F_{2i}}∑i=13F2i = F21F{21}F21+F22F{22}F22+F23F{23}F23 = 18。

注意：这里要强调的是应该如何判断某个作业需要在机器2上完成的任务何时开始，这个节点是上一个作业在机器2上完成处理的时间和本作业在机器1上完成处理的时间的较大者，具体原因已经在解析中详解，这里不再做赘述。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;int n;   //作业数
int M[100][100];   //M[i][j]表示第i个作业在机器j上需要处理的时间
int x[100];   //x[i]表示第i个处理的作业为x[i]
int bestx[100];   //x[i]的最优值
int f1;   //作业在机器1上完成处理的时间
int f2[100];   //f2[i]表示第i个作业在机器2上完成处理的时间
int f;   //用于记录前i个作业在机器2上完成处理的时间和
int bestf;   //f的最优值void Swap(int &a,int &b)   //交换函数
{int temp;temp=a;a=b;b=temp;
}void Backtrack(int i)
{if(i>n)   //每到达一个叶子结点，一定是产生了一个最优解，因此要更新之前最优解的值{if(f<bestf)   //更新最优解{for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestf=f;}}else{for(int j=i;j<=n;j++)   //控制展开i-1层结点的各个分支。例如当i=1时，表示在整棵排列树的根结点处，刚要开始探索结点，这时可以展开的分支有1、2、3……{f1+=M[x[j]][1];   //计算第i层（个）作业在机器1上的完成处理的时间if(f2[i-1]>f1)   //如果第（i-1）个作业在机器2上的完成处理的时间大于第i个作业在机器1上的完成处理的时间，那么第i个作业想进入机器2，就要等第（i-1）个作业在机器2上完成后再说f2[i]=f2[i-1]+M[x[j]][2];else   //否则，第i个作业可以在机器1上完成处理后直接进入机器2。f2[i]=f1+M[x[j]][2];f+=f2[i];   //计算完第i个作业在机器2上的完成处理的时间，就可以计算出前i个作业在机器2上完成处理的时间和了if(f<bestf)   //截止到这，已经得到一个前i个作业在机器2上完成处理的时间和f，如果f比之前记录的前i个作业在机器2上的完成处理的时间和的最优值bestf都要小，就可以生成第i层结点的孩子结点，继续探索下一层{Swap(x[i],x[j]);   //把处于同一层的并且使f更小的那个结点拿过来，放到正在探索的这个结点处（这里结合排列数的图可以更好地理解）Backtrack(i+1);   //继续探索以第i层结点为根结点的子树Swap(x[i],x[j]);   //探索完要回溯时，只要做探索前的反“动作”就可以了}f-=f2[i];   //探索完要回溯时，只要做探索前的反“动作”就可以了f1-=M[x[j]][1];   //探索完要回溯时，只要做探索前的反“动作”就可以了}}
}void inPut()   //输入函数
{cout<<"请输入作业的个数n："<<endl;cin>>n;cout<<"请分别输入n个作业在机器1和机器2上各自需要处理的时间（分两行）："<<endl;for(int i=1;i<=2;i++){for(int j=1;j<=n;j++)cin>>M[j][i];}
}void initialize()   //初始化函数
{for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=i;   //初始化当前作业调度的一种排列顺序bestf=10000;   //此问题是得到最佳作业调度方案以便使其完成处理时间和达到最小，所以当前最优值bestf应该初始化赋值为较大的一个值
}
void outPut()   //输出函数
{cout<<"这"<<n<<"个作业的最佳调度顺序为："<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)cout<<bestx[i]<<" ";cout<<endl;cout<<"该作业调度的完成时间和为："<<endl;cout<<bestf<<endl;
}int main()
{inPut();initialize();Backtrack(1);outPut();return 0;
}

运行结果

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