第二章线性时间序列分析及应用（理论）

2.1平稳性

严平稳

若满足（a) E(Yt) = μ ，μ 是一个常数。（b)Cov(Yt , Yt+k) = E[( Yt - μ)( Yt+k - μ )]=rk 任意两个时期之间的协方差仅依赖于这两个时期的距离。当k确定，这也是常数。则是弱平稳。

2.2相关系数和自相关系数

作者：老冯
链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/54153963

因为时间序列这种数据的特点是一维，勇往直前永不回头。根据这种数据特点，形成了自协方差、自相关函数、偏自相关函数等。看到前面都加了一个自，原因是时间序列没法找到一个别的数据和自己来进行比较；只能自己和自己来比较(Yt , Yt+k)。

a、自协方差 autocovariance

首先回顾下协方差，是衡量两个随机变量X，Y的线性相关性或独立性的一个指标：

现实中，以样本协方差estimate协方差：

那么在平稳性的条件下，自协方差Cov( Xt, Xt+k )== E[( Xt - μ )( Xt+k - μ )] 的estimate：

当k确定，ck 也是个常数，无论 Xt 的位置。

在时间序列{ X1, X2, X3, ..., Xn }中，现实样本为{ x1, x2, x3, ..., xn }。

Xt 与 Xt+k 对应分别的两组样本。比如k=1时，

Xt 的样本为 { x1, x2, x3, ..., xn }，而 Xt+1 的样本为 { x2, x3, x4..., xn }。在平稳性条件下，这两组样本的均值都是：

自相关函数 autocorrelation function（ACF）

Xt 与 Xt+k 的自相关系数即（自协方差 / k=0时的自协方差），分母也等于 Xt 的方差。

所以自相关系数ρk的estimate：

r0 永远等于一, rk称为样本自相关函数(ACF)。

b、自相关图 correlogram

样本xt 与 xt+k，把k从0到n的自相关系数求出并直线如下图所示。横坐标是lag，即k值。

c、混成检验/Ljung-Box test(LB 检验)

acf,q,p = sm.tsa.acf(data,nlags=10,qstat=True)  # 计算10个lag的自相关系数 及p-value
out = np.c_[range(1,11), acf[1:], q, p]
output=pd.DataFrame(out, columns=['lag', "AC", "Q", "P-value"])
output = output.set_index('lag')
output

我们取显著性水平为0.05，可以看出，所有的p-value都小于0.05；则我们拒绝原假设H0。

因此，我们认为该序列是序列相关的。

d、举例

import jqdatasdk as jd
jd.auth('','')
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf  #自相关图
from statsmodels.tsa.stattools import acf
from statsmodels.tsa.stattools import pacf
from statsmodels.tsa.stattools import pacf_yw
from statsmodels.tsa.stattools import pacf_ols
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf    #偏自相关图#%%data = jd.get_price(security='000001.XSHG', start_date='2020-04-01 09:30:00', end_date='2020-04-20 09:30:00', frequency='1m',fields=None, skip_paused=False, fq='pre', count=None)
#%%
close = data['close']#%%
close.ix['2020-04-14'].reset_index(drop=True).plot()#%%
#自相关图
plot_acf(close.ix['2020-04-14'].reset_index(drop=True)).show()#%%
# 计算180个lag的自相关系数 及p-value
acf,q,p = acf(close.ix['2020-04-14'].reset_index(drop=True),nlags=180,qstat=True)
#%%
output=pd.DataFrame({'AC':acf[1:],'Q':q,'P-value':p})output

上证指数2020-04-14日内分时图

第一种：使用简单收益

（自相关系数图）

（AC:自相关系数，Q：Q统计量，P-value:p值)

我们取显著性水平为0.05，可以看出，所有的p-value大于0.05；则我们接受原假设H0。认为这个时间序列不相关

第二种：直接使用时间序列

我们取显著性水平为0.05，可以看出，所有的p-value小于0.05；则我们拒绝原假设H0。认为这个时间序列相关

总结：研究时间序列，金融一般都是针对资产收益率而不是资产价格。

2.3白噪声和线性时间序列

白噪声：有限均值，有限方差，独立同分布的随机变量序列。若是 $\mu =0$ ，方差为 $\sigma ^2$ 的正态分布，称该序列为高斯白噪声。

2.4简单的自回归模型

2.4.1简单的自回归模型

AR(1)模型 $r_{t} = \phi _{0}+\phi _{1}r_{t-1}+a_{t}$ ，假设{ $a_{t}$ }是均值为0，方差为 $\sigma ^2$ 的高斯白噪声序列

AR(1)模型的弱平稳性的充分必要条件：自相关函数（ACF)满足 $\varrho _{l}=\phi _{1}\varrho _{l-1}$ ，l>0

表明弱平稳AR(1)序列的自相关函数从 $\varrho _{0}$ =1开始以比率为 $\phi _{1}$ 的指数速度衰减

AR(2)模型 $r_{t}=\phi _{0}+\phi_{1}r_{t-1}+\phi_{2}r_{t-2}+a_{t}$

弱平稳AR(2)序列的自相关函数呈现出减幅的正弦波状或余弦波状或指数衰减

AR(p)模型

自相关函数的图像呈现出正弦、余弦和指数衰减的混合状

2.4.2实际中怎样识别AR模型

a)偏自相关函数(PACF)

应用多元线性回归中偏F检验的思想，结果表明AR(p)序列的样本偏自相关函数是p后截尾的。

#偏自相关图
plot_pacf(close.ix['2020-04-14'].reset_index(drop=True),lags=100).show()#%%
#计算偏自相关系数
pacf1=pacf_ols(close.ix['2020-04-14'].reset_index(drop=True),nlags=100)

（偏自相关图）

(偏自相关系数)

b)信息准则

c)参数估计

常用最小二乘法来估计其参数

d)模型验证

若模型是合理的，则其残差序列应是白噪声，残差的样本自相关函数和Ljung-Box统计量来检验 $\hat{a_{t}}$ 与一个白噪声的接近程度。

2.4.3预测

向前一步预测

误差： $e_{h}(1)=r_{h+1}-\hat{r}_{h}(1)=a_{h+1}$

方差： $\sigma _{a}^{2}$

向前两步预测

误差： $e_{h}(2)=a_{h+2}+\o _{1}a_{h+1}$

方差： $(1+\o {_{1}}^{2})\sigma {_{a}}^{2}$

预测步长的增加会使预测中的不确定性也增加

向前多步预测

2.5简单滑动平均模型

（推理过程没看懂）

令 $\phi _{i}=-\theta _{i}(i>=1)$

MA(1)模型： $r_{t}=c_{0}+a_{t}-\theta _{1}a_{t-1}$

MA(2)模型： $r_{t}=c_{0}+a_{t}-\theta _{1}a_{t-1}-\theta _{2}a_{t-2}$

2.5.1MA模型的性质

a)平稳性

满足MA模型的时间序列必然是弱平稳的

b)自相关函数(计算满足MA模型的时间序列的自相关系数，得出一般的规律)

规律：MA(q)模型，其ACF在间隔为q时不为0，但对l>q， $\rho _{l}=0$ 。因此，MA(q)序列只与其头q个延迟值线性相关，是一个‘有限记忆’模型

2.5.2识别MA的阶

一个时间序列 $r_{t}$ 具有自相关函数 $\rho _{t}$ 。若 $\rho _{t}$ !=0但对l>q有 $\rho _{t}=0$ ，则 $r_{t}$ 服从一个MA(q)模型

2.5.3估计

最大似然法(不会)

2.5.4用MA模型预测

MA(1)模型向前1步预测： $\hat{r}_{h}(1)=c_{0}-\theta _{1}a_{h}$

MA(1)模型向前2步预测： $\hat{r}_{h}(2)=c_{0}$

MA(1)向前2步预测即是模型的无条件均值。一般地，对一个MA(q)模型，向前q步以后的预测就达到模型的均值。

2.6简单的ARMA模型

如果时间序列 $r_{t}$ 满足： $r_{t}-\phi_{1}r_{t-1}=\phi_{0}+a_{t}-\theta_{1}a_{t-1}$

其中{ $a_{t}$ }是白噪声序列，则称 $r_{t}$ 服从ARMA(1,1)模型。（这算是一种定义？不理解）

2.6.1ARMA(1,1)模型性质

弱平稳性：期望为定值

自相关系数

2.6.2一般的ARMA模型

2.6.3识别ARMA模型

确定(p,q)

2.6.4用ARMA模型预测

2.7单位根非平稳性

非平稳序列叫做单位根非平稳时间序列，例如：资产价格序列。

2.7.1随机游动

时间序列{ $p_{t-1}$ }满足： $p_{t}=p_{t-1}+a_{t}$ ，其中 $p_{0}$ 是一个实数，他表示这个过程的起始值。{ $a_{t}$ }是一个白噪声序列。

这样的模型下：股价是不可预测的或者均值回转的。

对任意预测步长l>0 : $\hat{p}_{h}(l)=p_{h}$

方差： $l\sigma {_{a}}^{2}$

说明：l增大时，方差趋于无穷，故预测无效。但长期来看股指价格走势，并没有出现极端情况，说明随机游走模型在指数上的适合性值得怀疑。对所有i都有 $\varphi _{i}=1$ ，任何过去的抖动 $a_{i-1}$ 对 $p_{t}$ 的影响不随时间衰竭。从而，序列具有强记忆性。

2.7.2带漂移的随机游动

$p_{t}=\mu +p_{t-1}+a_{i}$

常数项 $\mu$ 可为正也可为负，则 $p_{t}$ 就为一个有上升趋势或下降趋势时间序列。

2.7.3一般的单位根非平稳模型

ARIMA模型（不懂）

2.7.4单位根检验

检验资产的对数价格 $p_{t}$ 是否服从一个随机游走或者一个带漂移的随机游走

2.8季节模型

（跳过）

2.9带时间序列误差的回归模型

在线性回归分析中检验残差的前后相关性至关重要（残差的ACF）

1）拟合一个线性回归并检验其残差的前后相关性。

2）如果残差序列是单位根非平稳的，则对响应变量和解释变量做一阶差分，然后对两个差分后的序列进行第一步。若这时的残差序列是平稳的，则对残差识别一个ARMA模型并相应地修改线性回归模型。

3）用最大似然法进行联合估计，并对拟合模型进行检验，看是否需要进一步改进。