欧拉路径（欧拉环游、欧拉回路）

一个流行的游戏是用铅笔画这些图，但是图中的每一条边都只能被画一次，在画图过程中铅笔不能离开纸面。难度更高的问题是，不光要一笔画完图，并且起点和终点还要落在同一处。如果我们将上面的三个图形都看作图数据结构，那么这个画图问题就是一个图论问题。

如果在一个无向图中，找到一条路径，使得每一条边都被访问并且只被访问一次，那么这条路径就称为欧拉路径。如果起点与终点一致就成为欧拉回路，否则就是欧拉环游。

我们能想到的第一个特性是，如果一个无向图要具有欧拉回路，那么图必须是连通的并且图中的每一个顶点的入度都必须是偶数。这是因为，如果图不连通，那么就肯定有顶点无法被访问到；如果顶点的入度不为偶数，那么就会存在从一条边进入该顶点但无法再从该条边出来，这样就会永远停留在该顶点，也就不存在欧拉回路。如果刚好有两个顶点的入度为奇数，那么就可能存在一条从一个顶点出发，最终回到另一个顶点的欧拉环游，但是必须只有两个顶点的入度为奇数，如果多于两个顶点，那么欧拉环游也是不存在的。

事实上，一个无向图存在欧拉回路的充分必要条件就是：图是连通的并且所有顶点的度都为偶数。并且我们还可以通过一个线性时间的算法来找到这一条路径，此时基本的算法就是深度优先搜索。

深度优先搜索的主要问题在于，我们有可能只访问了部分节点而提前返回起点。解决这个问题的办法是，将访问过的边删掉之后，从剩余图中尚未访问的边的路径上的第一个节点开始再进行深度优先搜索，直到所有边都被遍历一次。

对于上图，首先找到路径，并删除边和节点：

接下来选择4节点，并开始深度优先搜索，找到路径 ,将其拼接到最初的路径中：

接下来从节点3开始，找到路径 ,并将其拼接到上面的路径中：

最后将路径拼接到路径中

，就得到了完整的欧拉回路。

这个算法的时间复杂度是，因为它遍历了一边所有的边，并且遍历了常数遍顶点。

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