一、理论基础

1、麻雀搜索算法

请参考这里。

2、麻雀搜索算法的改进

2.1 反向学习初始化种群

反向学习作为一种智能计算中的新技术，其目的是基于当前解,找出与其对应的反向解，再通过适应度计算选择并保存较好的解。通过反向学习策略初始化能有效提高种群的多样性，避免陷入局部最优。反向学习初始化过程如下：
（1）随机生成临时的初始化种群Xi,jX_{i,j}Xi,j。
（2）通过式(1)计算Xi,jX_{i,j}Xi,j的反向解Xi,j∗X_{i,j}^*Xi,j∗Xi,j∗=ubi,j+lbi,j−Xi,j(1)X_{i,j}^*=ub_{i,j}+lb_{i,j}-X_{i,j}\tag{1}Xi,j∗=ubi,j+lbi,j−Xi,j(1)其中，ubi,jub_{i,j}ubi,j和lbi,jlb_{i,j}lbi,j分别为Xi,jX_{i,j}Xi,j对应的第iii个个体当中第jjj维的上限和下限。
（3）生成的初始种群。根据适应度函数计算出对应的反向解Xi,j∗X_{i,j}^*Xi,j∗，若fit(Xi,j∗)<fit(Xi,j)fit(X_{i,j}^*)<fit(X_{i,j})fit(Xi,j∗)<fit(Xi,j)，则选择其反向解Xi,j∗X_{i,j}^*Xi,j∗作为初始种群中的个体。

2.2 非线性权重因子

引入非线性权重因子λ\lambdaλ来改进种群中发现者的位置更新公式以平衡算法的局部和全局的搜索能力，同时改善算法的收敛速度。算法迭代前期，应降低发现者个体对于自身位置的依赖性，以获取更大的解空间并提升全局优化能力；迭代后期，应加大对自身位置的依赖程度，以提高收敛速度。非线性权重因子公式为λ=(t/itermax⁡)2\lambda=(t/iter_{\max})^2λ=(t/itermax)2此时对发现者位置更新公式进行简化和改进为Xi,jt+1={Xi,jt⋅λifR2<STXi,jt+QifR2≥ST(3)X_{i,j}^{t+1}=\begin{dcases}X_{i,j}^t\cdot\lambda\quad\quad\text{if}\,\,R_2<ST\\[2ex]X_{i,j}^t+Q\quad\,\,\text{if}\,\,R_2\geq ST\end{dcases}\tag{3}Xi,jt+1=⎩⎨⎧Xi,jt⋅λifR2<STXi,jt+QifR2≥ST(3)为了简化警戒者更新公式，把具有警戒属性个体的位置更新规则改进为：不管是发现者还是追随者，当有危险信号时，处在种群外围的个体还是会朝着安全区域移动；处在种群中间的个体则会逃到最优位置和最差位置之间的一个随机位置，此时改为Xi,jt+1={Xbestt+β⋅∣Xi,jt−Xbestt∣iffi>fgXi,jt+β⋅(Xworstt−Xbestt)iffi=fg(4)X_{i,j}^{t+1}=\begin{dcases}X_{best}^t+\beta\cdot\left|X_{i,j}^t-X_{best}^t\right|\quad\,\,\,\text{if}\,\,f_i>f_g\\[2ex]X_{i,j}^t+\beta\cdot(X_{worst}^t-X_{best}^t)\quad\text{if}\,\,f_i=f_g\end{dcases}\tag{4}Xi,jt+1=⎩⎨⎧Xbestt+β⋅∣∣Xi,jt−Xbestt∣∣iffi>fgXi,jt+β⋅(Xworstt−Xbestt)iffi=fg(4)

2.3 融入差分进化和精英策略

2.3.1 DE算法

请参考这里。

2.3.2 精英策略

为了提升算法局部的寻优能力，引入精英策略在第ttt次迭代后得到的当前最优解bestbestbest附近产生符合正态分布的随机数，公式如式(5)Xi,jt=best+0.0001⋅Q(5)X_{i,j}^t=best+0.0001\cdot Q\tag{5}Xi,jt=best+0.0001⋅Q(5)

2.4 DEH-SSA算法描述

综上所述，DEH-SSA算法的具体步骤如图1所示。

图1 DEH-SSA算法流程图

二、仿真实验与结果分析

将DEH-SSA与GWO、GSA和SSA进行对比，以文献[1]中表1的10个测试函数为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
GWO：最差值: 2.3662e-16, 最优值: 2.0034e-17, 平均值: 8.81e-17, 标准差: 5.284e-17, 秩和检验: 1.9469e-11
GSA：最差值: 0.0016001, 最优值: 0.00071332, 平均值: 0.0011372, 标准差: 0.0002178, 秩和检验: 1.9469e-11
SSA：最差值: 6.2061e-32, 最优值: 5.6451e-204, 平均值: 2.76e-33, 标准差: 1.1696e-32, 秩和检验: 1.9469e-11
DEH-SSA：最差值: 2.3023e-321, 最优值: 0, 平均值: 1.2846e-322, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F2
GWO：最差值: 2.5232e-06, 最优值: 4.4383e-08, 平均值: 6.9213e-07, 标准差: 6.6774e-07, 秩和检验: 1.5302e-11
GSA：最差值: 3.2404, 最优值: 0.00015546, 平均值: 0.59244, 标准差: 0.85353, 秩和检验: 1.5302e-11
SSA：最差值: 6.0795e-36, 最优值: 1.5338e-190, 平均值: 2.0702e-37, 标准差: 1.1092e-36, 秩和检验: 1.5302e-11
DEH-SSA：最差值: 6.4395e-315, 最优值: 0, 平均值: 2.1476e-316, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F3
GWO：最差值: 28.759, 最优值: 26.1534, 平均值: 27.1196, 标准差: 0.81453, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 298.8031, 最优值: 24.8654, 平均值: 34.6281, 标准差: 49.8986, 秩和检验: 3.0199e-11
SSA：最差值: 0.0023779, 最优值: 1.2896e-08, 平均值: 0.00013172, 标准差: 0.00043688, 秩和检验: 0.4553
DEH-SSA：最差值: 0.00049614, 最优值: 4.4862e-09, 平均值: 9.1409e-05, 标准差: 0.00012524, 秩和检验: 1
函数：F4
GWO：最差值: 1.7315, 最优值: 0.24972, 平均值: 0.80272, 标准差: 0.34301, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 8.4023e-08, 最优值: 2.5919e-08, 平均值: 4.8505e-08, 标准差: 1.5034e-08, 秩和检验: 6.6955e-11
SSA：最差值: 4.6657e-07, 最优值: 6.74e-13, 平均值: 2.4578e-08, 标准差: 8.5011e-08, 秩和检验: 0.34783
DEH-SSA：最差值: 3.3295e-08, 最优值: 9.8447e-12, 平均值: 8.0363e-09, 标准差: 8.7785e-09, 秩和检验: 1
函数：F5
GWO：最差值: 0.0071882, 最优值: 0.00065491, 平均值: 0.0023087, 标准差: 0.0015611, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 7.7826, 最优值: 0.03407, 平均值: 0.57588, 标准差: 1.5389, 秩和检验: 3.0199e-11
SSA：最差值: 0.0013197, 最优值: 3.7654e-05, 平均值: 0.00045614, 标准差: 0.00039642, 秩和检验: 1.4733e-07
DEH-SSA：最差值: 0.00027645, 最优值: 8.2782e-07, 平均值: 7.3442e-05, 标准差: 6.1197e-05, 秩和检验: 1
函数：F6
GWO：最差值: -3810.037, 最优值: -7144.588, 平均值: -6071.316, 标准差: 779.7763, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: -1635.8941, 最优值: -3952.326, 平均值: -2688.7077, 标准差: 472.4738, 秩和检验: 3.0199e-11
SSA：最差值: -5620.2471, 最优值: -9667.2631, 平均值: -8097.5567, 标准差: 855.3363, 秩和检验: 1.1937e-06
DEH-SSA：最差值: -8117.1567, 最优值: -10234.8049, 平均值: -9184.2737, 标准差: 574.4599, 秩和检验: 1
函数：F7
GWO：最差值: 1.4655e-13, 最优值: 7.9048e-14, 平均值: 1.0747e-13, 标准差: 1.9189e-14, 秩和检验: 1.1183e-12
GSA：最差值: 0.00025071, 最优值: 0.00012663, 平均值: 0.0001713, 标准差: 3.0602e-05, 秩和检验: 1.2118e-12
SSA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
DEH-SSA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F8
GWO：最差值: 0.10907, 最优值: 0.0087484, 平均值: 0.042806, 标准差: 0.019916, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 0.51912, 最优值: 1.7345e-10, 平均值: 0.070069, 标准差: 0.13543, 秩和检验: 2.6784e-06
SSA：最差值: 2.0206e-08, 最优值: 5.1392e-13, 平均值: 1.0502e-09, 标准差: 3.6746e-09, 秩和检验: 0.64142
DEH-SSA：最差值: 1.8072e-09, 最优值: 1.4747e-13, 平均值: 3.0006e-10, 标准差: 5.2324e-10, 秩和检验: 1
函数：F9
GWO：最差值: 12.6705, 最优值: 0.998, 平均值: 4.4238, 标准差: 4.2789, 秩和检验: 0.97033
GSA：最差值: 9.0451, 最优值: 0.998, 平均值: 3.431, 标准差: 1.9715, 秩和检验: 0.66073
SSA：最差值: 12.6705, 最优值: 0.998, 平均值: 7.292, 标准差: 5.7491, 秩和检验: 0.59871
DEH-SSA：最差值: 12.6705, 最优值: 0.998, 平均值: 6.8725, 标准差: 5.6797, 秩和检验: 1
函数：F10
GWO：最差值: 0.020363, 最优值: 0.00030755, 平均值: 0.0030602, 标准差: 0.0069049, 秩和检验: 5.4941e-11
GSA：最差值: 0.015849, 最优值: 0.00093105, 平均值: 0.0033569, 标准差: 0.0037192, 秩和检验: 3.0199e-11
SSA：最差值: 0.00030811, 最优值: 0.00030749, 平均值: 0.00030755, 标准差: 1.3138e-07, 秩和检验: 0.33285
DEH-SSA：最差值: 0.00030791, 最优值: 0.00030749, 平均值: 0.00030753, 标准差: 1.0381e-07, 秩和检验: 1

实验结果表明：DEH-SSA在局部和全局的搜索能力、收敛速度和精度、鲁棒性方面都要优于SSA、GWO等算法。

三、参考文献

[1] 朱鹏, 杜逆索, 欧阳智. 融合差分进化和混合多策略的麻雀搜索算法[J]. 计算机工程与设计, 2022, 43(6): 1609-1619.

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