第四讲四点共圆问题

第四讲四点共圆问题

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P89定理和P93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用.

1　“四点共圆”作为证题目的

例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.

(第19届美国数学奥林匹克)

分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM.

欲证M，N，P，Q四点共圆，须证

MK·KN＝PK·KQ，

即证(MC′-KC′)(MC′+KC′)

＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)

或MC′²-KC′²=PB′²-KB′² . ①

不难证明 AP=AM，从而有

AB′²+PB′²=AC′²+MC′².

故 MC′²-PB′²=AB′²-AC′²

=(AK²-KB′²)-(AK²-KC′²)

=KC′²-KB′². ②

由②即得①，命题得证.

例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，

O₁，O₂，O₃分别为△OAB，△OBC，

△OCA的外心.求证：O，O₁，O₂，

O₃四点共圆.

(第27届莫斯科数学奥林匹克)

分析：作出图中各辅助线.易证O₁O₂垂直平分OB，O₁O₃垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO₂O₁= ∠OO₂B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO₃O₁= ∠OO₃A=∠OCA.

由∠OO₂O₁=∠OO₃O₁ O，O₁，O₂，O₃共圆.

利用对角互补，也可证明O，O₁，O₂，O₃四点共圆，请同学自证.

2　以“四点共圆”作为解题手段

这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.

(1)证角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.

　　　求证：∠DMA＝∠CKB.

（第二届袓冲之杯初中竞赛）

分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，

有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC

＝180°，

　　　∴∠CMK+∠KDC＝180°.

　　　故C，D，K，M四点共圆 ∠CMD＝∠DKC.

　　　但已证∠AMB＝∠BKA，

　　　∴∠DMA＝∠CKB.

(2)证线垂直

例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，

BC交于K，N(K与N不同).△ABC

外接圆和△BKN外接圆相交于B和

M.求证：∠BMO=90°.

(第26届IMO第五题)

分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.

连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠

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