小薛读论文02：带第二阶段收益不确定性的两阶段多二进制背包问题(L-shaped cut 和 benders cut)

摘要：本文研究了一类随机多重二元背包问题，提出了一种基于整数 L-shaped 方法的求解该问题的算法。结合Benders分解算法和整数 L-shaped 方法实现了另一种方法。这两个算法是在Python中使用Gurobi Optimizer实现的。然后，随机生成13个不同的实例，用所提出的算法求解。结果证明了该组合方法在求解较大实例时的有效性。此外，还进行了敏感性分析来调研问题参数增长对整数 L-shaped 方法性能的影响。

1 引言

背包问题是经典的NP难问题，其定义为：给定一个固定容量的背包，一组物品及物品收益，其目标是找到不超过背包容量且收益最大的物品组合。

多背包问题是背包问题的一个著名拓展，其定义为：给定一组背包及其容量，将一组物品放入到这些背包中，其目标是找到不超过每个背包容量且收益最大的物品装包组合。

第一个求解背包问题的精确算法是Gilmore和Gomery在60年代提出的，其他的精确求解框架还有动态规划及其变体、分支定界算法、特定的枚举技术和简化方案（enumeration techniques and reduction schemes）等。分支切割算法则被开发来处理中等规模的问题，而启发式方案在处理更大规模的问题是也是一个有竞争力的优先选项。

在这一节中，我们探讨了一个随机多二进制背包问题。其不确定性来源于对现实世界的观察。它假设物品的收益服从已知的离散概率分布。我们关注的焦点是利用整数L-shaped方法找到该问题的精确解。

我们将物品分为两类，第一类是收益确定的物品集，记为M；第二类是收益不确定但服从离散概率分布的物品集，记为K。随机多二进制背包问题的目标是最大化选自集合M中的收益 + 选自集合K中的收益期望值。显然，随着场景数目的增加，

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