08_改善性能措施高阶系统动态性能线性系统的稳定性分析

改善二阶系统动态性能的措施

基本措施

测速反馈——增加阻尼
比例+微分——提前控制

测速反馈实际增加了系统的阻尼比
比例+微分的动态性能计算用零点极点法
比例+微分是提前控制(红色e为0时，曲线还未上升到稳态值)（了解）

零点极点法（了解）

高阶系统的阶跃响应及动态性能(了解)

高阶系统单位阶跃响应

Φ ( s ) = M ( s ) D ( s ) = b m s m + b m − 1 s m − 1 + . . . + b 1 s + b 0 a n n + a n − 1 s n − 1 + . . . a 1 s + a 0 = K ∏ i = 1 m ( s − z i ) ∏ j = 1 n ( s − λ j ) \begin{aligned} \Phi(s)&=\frac{M(s)}{D(s)}=\frac{b_ms^m+b^{m-1}s^{m-1}+...+b_1s+b_0}{a_n^n+a_{n-1}s^{n-1}+...a_1s+a_0}\\ &=\frac{K\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\prod_{j=1}^n(s-\lambda_j)}\\ \end{aligned} Φ(s)=D(s)M(s)=ann+an−1sn−1+...a1s+a0bmsm+bm−1sm−1+...+b1s+b0=∏j=1n(s−λj)K∏i=1m(s−zi)

高阶系统的闭环传递函数有多个极点和零点

闭环主导极点

主导极点：距离虚轴最近而且附近又没有闭环零点的闭环极点

线性系统的稳定性分析(掌握)

稳定性的概念

稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。

在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，如果扰动消除后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。

稳定的充要条件(*)

若 lim ⁡ t → ∞ k ( t ) = 0 \lim_{t\rightarrow\infty}k(t)=0 limt→∞k(t)=0，则系统是稳定的
系统稳定的充要条件: 系统的所有闭环极点均具有负的实部，或所有闭环极点均严格位于左半s平面

稳定判据(重点)

D ( s ) = a n s n + a n − 1 s n − 1 + . . . + a 1 s + a 0 = 0 ( a n > 0 ) D(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0=0\quad(a_n>0)\\ D(s)=ansn+an−1sn−1+...+a1s+a0=0(an>0)

必要条件: a i > 0 i = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 a_i>0\qquad i=0,1,2,...,n-1 ai>0i=0,1,2,...,n−1

D ( s ) = s 5 + 6 s 4 + 9 s 3 − 2 s 2 + 8 s + 12 = 0 不稳定 D ( s ) = s 5 + 4 s 4 + 6 s 2 + 9 s + 8 不稳定 ( 缺 s 3 ) D ( s ) = − s 4 − 5 s 3 − 7 s 2 − 2 s − 10 = 0 可能稳定 \begin{aligned} D(s)&=s^5+6s^4+9s^3-2s^2+8s+12=0\qquad不稳定\\ D(s)&=s^5+4s^4+6s^2+9s+8\qquad不稳定(缺s^3)\\ D(s)&=-s^4-5s^3-7s^2-2s-10=0\qquad可能稳定\\ \end{aligned} D(s)D(s)D(s)=s5+6s4+9s3−2s2+8s+12=0不稳定=s5+4s4+6s2+9s+8不稳定(缺s3)=−s4−5s3−7s2−2s−10=0可能稳定

满足必要条件的系统只是可能稳定

劳斯判据

劳斯判据特殊情况处理

某行第一列元素为0而该元素行元素不全为0时: 将0改为 ε \varepsilon ε, 继续运算

出现全零行时: 用上一行元素组成辅助方程，将其对s求导一次，用新方程的系数代替全零行系数，继续运算

出现全零行的系统不稳定
辅助方程的解为 D ( s ) = 0 D(s)=0 D(s)=0解的子集

劳斯判据的应用

对于二阶系统，当所有系数都大于零时，系统稳定

总结:

系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。
系统稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关
- 闭环零点影响系数Ci ，会改变动态性能，但不影响稳定性。
- 闭环极点决定模态，因此决定系统的稳定性，也影响动态性能。
闭环系统的稳定性与其开环是否稳定没有直接关系。
改善二阶系统动态性能的措施
- 测速反馈控制——增加阻尼
- 比例+微分控制——提前控制
稳定判据
- 判定稳定的必要条件 a i > 0 a_i>0 ai>0
- 劳斯判据

参考资料

【（新版！最清晰！去噪不炸耳！）自动控制原理西北工业大学卢京潮】