算法设计思想（3）

1. 迭代法基本思想

迭代法的实现，一般需要确定以下三个要点。

1.1 确定迭代变量：

迭代变量一般就是要求解的问题的解，利用迭代递推公式可以不断地由旧值递推出新值。根据问题的不同，迭代变量可以是一个，也可以是多个。

确定迭代变量，通常还要根据迭代递推关系给出迭代变量的初始值，这一点也很重要。

1.2 确定迭代递推关系：

迭代递推关系是根据旧值计算新值的关系或公式，这是迭代法实现的关键，如果不能确定迭代关系，则无法用迭代法实现算法。

1.3 确定迭代终止条件：

迭代终止条件是控制迭代过程退出的关键条件。迭代不可能无休止地进行，必须设置迭代终止条件，在适当的时候退出迭代。

迭代终止条件一般有三种假设：

其一，是迭代变量已经求得问题的精确值；
其二，是迭代变量无法得到精确值，但是某个迭代的值的精度已经满足要求；
其三，是指定明确的迭代计算次数。

迭代算法的具体实现，可根据问题的类型选择迭代终止条件。一般情况下，为了防止迭代关系在某个区间上发散（不收敛）使得算法进入死循环，都会把第三个条件作为异常退出条件和其他迭代终止条件配合使用，也就是说，即使无法得到符合条件的解，只要迭代计算次数达到某个限制值，也退出迭代过程。

2. 实例

2.1 用迭代法求平方根

公式：求 a 的平方根的迭代公式为： X_n+1=(X_n + a/X_n)/2 要求前后两次求出的 x 的差的绝对值小于10^-5 时结束，并输出每次迭代的结果和最后结果

def func(a):i = 0x = 1.0ret = 0while True:i += 1previous_ret = ret     ret = (x + a/x)/2.0       # 迭代递推关系x = ret                    # 迭代变量print "i is {}".format(i)if abs(ret - previous_ret) <= 10**(-5):        # 迭代终止条件breakprint "ret is {}".format(ret)func(81)

2.2 二分迭代求解低阶非线性方程

对于 f(x) = 2x² + 3.2x - 1.8 求在 [-0.8, 8] 区间使得 f(x) = 0 的解，由于计算机无法对两个浮点数直接做相等的判断，故对其精度误差要求小于 10^-9

def fun(x):f = 2*x**2 + 3.2*x - 1.8return fdef main(value_range):begin = value_range[0]end = value_range[1]i = 0while True:i += 1print "i is {}".format(i)mid = (begin + end) / 2print "mid is {}".format(mid)if fun(begin) * fun(mid) > 0.0:begin = midelse:end = midif abs(begin - end) < 10**(-9):print midbreakif __name__ == "__main__":main([-0.8, 8])