[数分提高]2014-2015-2第6教学周第2次课(2015-04-09)

试求 $$\bex \max\sed{\al;\sex{1+\frac{1}{n}}^{n+\al}\leq e,\quad \forall\ n\in\bbN}. \eex$$

解答: $$\beex \bea &\quad \sex{1+\frac{1}{n}}^{n+\al}\leq e,\quad\forall\ n\in\bbN\\ &\lra (n+\al)\ln\sex{1+\frac{1}{n}}\leq 1,\quad\forall\ n\in\bbN\\ &\lra \al\leq \frac{1}{\ln\sex{1+\frac{1}{n}}}-n,\quad\forall\ n\in\bbN\\ &\lra \al\leq \inf_{n\geq 1}\sed{\frac{1}{\ln\sex{1+\frac{1}{n}}}-n} \eea \eeex$$ 设 $$\bex f(x)=\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x},\quad 0<x<1, \eex$$ 则 $$\bex f'(x)=-\frac{1}{(1+x)\ln^2(1+x)}+\frac{1}{x^2} =\frac{-x^2+(1+x)\ln^2(1+x)}{x^2(1+x)\ln ^2(1+x)}. \eex$$ 令 $$\bex g(x)=-x^2+(1+x)\ln^2(1+x), \eex$$ 则 (上课时对不起了, 算了一阶导数就没算下去了...所以一定要坚持算下去...) $$\beex \bea g'(x)&=-2x+\ln^2(1+x)+2\ln(1+x),\\ g''(x)&=-2+\frac{2\ln(1+x)}{1+x}+\frac{2}{1+x} =\frac{2[\ln(1+x)-x]}{1+x}\leq 0. \eea \eeex$$ 故 $$\beex \bea \serd{\ba{rr} \serd{\ba{rr} g''(x)\leq 0\\ g'(0)=0 \ea}\ra g'(x)\leq 0\\ g(0)=0 \ea}\ra g(x)\leq 0\ra f'(x)\leq 0; \eea \eeex$$ $$\bex \inf_{0<x<1}f(x)=f(1)=\frac{1}{\ln 2}-1; \eex$$ $$\bex \max\sed{\al;\sex{1+\frac{1}{n}}^{n+\al}\leq e,\quad \forall\ n\in\bbN} =\frac{1}{\ln 2}-1. \eex$$

注记1. 同上讨论, $$\bex \min\sed{\al;\sex{1+\frac{1}{n}}^{n+\beta}\geq e,\quad \forall\ n\in\bbN} =\lim_{x\to 0} f(x)=\frac{1}{2}. \eex$$

注记2. 我们也得到了一个更强的对数不等式: $$\bex \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}},\quad 0<x<1. \eex$$

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