利用归并排序求逆序对

在逆序对的问题中，如果采用暴力求解的方法，一般也是有效的，但是O(n²)时间复杂度实在是难以接受的。但是对于逆序对问题，却有一个看似不想关的算法来解决–归并排序。时间复杂度和空间复杂度完全与归并排序一样，只是在归并过程中，添加了一个变量，对于逆序对的数目进行了记录。这样就将时间复杂度降低到了O(nlogn)。

原理

因为逆序对的数目可能存在平方数个逆序对，因此要想将逆序对数目求解的复杂度降低到O(nlogn)，就不能对每一个逆序对进行计算。根据归并排序思想，使用归并求解逆序对时，将会在将两个有序数组合并成一个有序数组的过程中，记录逆序对的数目，其他如数组划分和排序过程同归并排序。

在归并排序的合并步骤中，假设将两个有序数组A[] 和有序数组B[] 和并为一个有序数组C[]。计算逆序对问题转换为计算逆序对(a,b)的问题，其中a来自A[], b来自B[]。当a < b的时候，不计数，当a>b的时候(a,b)就是逆序对，由于A[]是有序的，那么A[]中位于a之后的元素对于B[]中的元素b也形成了逆序对，于是对于逆序对(a,b)，（假设A[]的起始下标为sa,结束下标为ea,a的下标为pos）实际上合并成C[]后会会产生ea-pos+1个逆序对。

也就是说，合并过程中，每次出现一对这样的(a,b),逆序对数目sum = sum + ea-pos+1 ;
根据这样的原理，再给予对归并排序的理解，将上面的计算公式加入到归并排序中，就可以在O(nlogn)的时间复杂度里计算出一个给定数字序列中逆序对的数目。

示例代码

#include<iostream>#define N 100000using namespace std;void merge(int arr[],int start,int mid,int end,int temp[],long long *count){int index = 0,index1 = 0,index2 = 0;index = 0; index1 = start; index2 = mid+1;while((index1<=mid) && (index2<=end)){if(arr[index1] <= arr[index2]){temp[index++] = arr[index1++];}else{temp[index++] = arr[index2++];//ans+=e1-p1+1;(*count) = (*count) + mid - index1 + 1;}}while(index1<=mid)temp[index++] = arr[index1++];while(index2<=end)temp[index++] = arr[index2++];for(int i=0;i<index;i++){// 复制也是递归进行的，所以并不是从start开始到endarr[start+i] = temp[i];}}void mergeSort(int arr[],int start,int end,int temp[],long long *count){if(start<end){ // 递归出口int mid = 0;mid = (start+end)>>1;mergeSort(arr,start,mid,temp,count);mergeSort(arr,mid+1,end,temp,count);merge(arr,start,mid,end,temp,count);}}int main(){long long count = 0;int m = 0;cin>>m;int *a = new int[m];for(int i=0;i<m;i++){cin>>a[i];}int *temp = new int[m];mergeSort(a,0,m-1,temp,&count);delete []a;delete []temp;cout<<count<<endl;return 0;}

输入格式为：先输入一个数字代表数组的长度，回车，接下来依次输入以空格分割的n个数组元素。输出就是该数组的逆序对数目。

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#include #include #define MAX 32767 int merge(int *array, int p,int q,int r) { //归并array[p...q] 与 ar ...

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示例代码

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