本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案中各小题答案。

§04 第四小题

4.已知离散时间因果系统的差分方程为：

（1）y[n]=0.14x[n]+0.14x[n−1]+1.02y[n−1]y\left[ n \right] = 0.14x\left[ n \right] + 0.14x\left[ {n - 1} \right] + 1.02y\left[ {n - 1} \right]y[n]=0.14x[n]+0.14x[n−1]+1.02y[n−1]（2）y[n]=0.5x[n]−0.3x[n−2]−2y[n−1]−y[n−2]y\left[ n \right] = 0.5x\left[ n \right] - 0.3x\left[ {n - 2} \right] - 2y\left[ {n - 1} \right] - y\left[ {n - 2} \right]y[n]=0.5x[n]−0.3x[n−2]−2y[n−1]−y[n−2]

通过传递函数的极点位置判断该系统的稳定性。

▓ 求解：

（1）第一小问

y[n]=0.14x[n]+0.14x[n−1]+1.02y[n−1]y\left[ n \right] = 0.14x\left[ n \right] + 0.14x\left[ {n - 1} \right] + 1.02y\left[ {n - 1} \right]y[n]=0.14x[n]+0.14x[n−1]+1.02y[n−1]

系统的传递函数为：

Y(z)=0.14+0.14z−11−1.02z−1=0.14(z+1)z−1.02Y\left( z \right) = {{0.14 + 0.14z^{ - 1} } \over {1 - 1.02z^{ - 1} }} = {{0.14\left( {z + 1} \right)} \over {z - 1.02}}Y(z)=1−1.02z−10.14+0.14z−1=z−1.020.14(z+1)

一个单重根：p1=1.02>1p_1 = 1.02 > 1p1=1.02>1，所以系统不稳定。

>>iztrans(0.14*(z+1)/(z-1.02))'
ans=(707*(51/50)^n)/2550 -(7*kroneckerDelta(n,0))/51

y[n]=707(5150)n2550−7δ[n]51y\left[ n \right] = {{707\left( {{{51} \over {50}}} \right)^n } \over {2550}} - {{7\delta \left[ n \right]} \over {51}}y[n]=2550707(5051)n−517δ[n]

（2）第二小问

y[n]=0.5x[n]−0.3x[n−2]−2y[n−1]−y[n−2]y\left[ n \right] = 0.5x\left[ n \right] - 0.3x\left[ {n - 2} \right] - 2y\left[ {n - 1} \right] - y\left[ {n - 2} \right]y[n]=0.5x[n]−0.3x[n−2]−2y[n−1]−y[n−2]

系统传递函数：

Y(z)=0.5−0.3z−21+2z−1+z−2=z(0.5z−0.3)(z+1)2Y\left( z \right) = {{0.5 - 0.3z^{ - 2} } \over {1 + 2z^{ - 1} + z^{ - 2} }} = {{z\left( {0.5z - 0.3} \right)} \over {\left( {z + 1} \right)^2 }}Y(z)=1+2z−1+z−20.5−0.3z−2=(z+1)2z(0.5z−0.3)

双重实根：p1,2=−1p_{1,2} = - 1p1,2=−1，系统不稳定。

>>iztrans(z*(0.5*z-0.3)/(z+1)^2)'
ans=(13*(-1)^n)/10 +(4*(-1)^n*(n-1))/5

y[n]=1.3(−1)n+0.8(−1)n⋅(n−1),n≥0y[n] = 1.3\left( { - 1} \right)^n + 0.8\left( { - 1} \right)^n \cdot \left( {n - 1} \right),\,\,\,\,n \ge 0y[n]=1.3(−1)n+0.8(−1)n⋅(n−1),n≥0

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