公式

DFT与IDFT

DFT公式

Xk=∑n=0N−1e−i2πNknxn,k∈{0,1,...N−1}X_k = \sum_{n=0}^{N-1}e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}x_n , k\in \{0,1,... N-1\} Xk=n=0∑N−1e−iN2πknxn,k∈{0,1,...N−1}

iDFT公式

公式：
xn=1N∑k=0N−1ei2πNknXk,k∈{0,1,...N−1}x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{i\frac{2\pi}{N}kn}X_k, k\in \{0,1,... N-1\} xn=N1k=0∑N−1eiN2πknXk,k∈{0,1,...N−1}

那是否可以直接DFT来计算iDFT呢？
答案是可以的

DFT计算iDFT

IFFT(X)=1Nconj(FFT(conj(X)))IFFT(X) = \cfrac{1}{N}conj(FFT(conj(X))) IFFT(X)=N1conj(FFT(conj(X)))

公式推导

由DFT公式开始推到

(1) 由e的幂来看，共轭操作就是将幂取负值（不理解的可以复习一下欧拉公式）
DFT(x)=∑n=0Nconj(ei2πNkn)xn(1)DFT(x) = \sum_{n=0}^{N}conj(e^{i\frac{2\pi}{N}kn})x_n \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space(1) DFT(x)=n=0∑Nconj(eiN2πkn)xn (1)

(2) 将x替换为conj(x)
DFT(conj(x))=∑n=0Nconj(ei2πNkn)conj(xn)(2)DFT(conj(x)) = \sum_{n=0}^{N}conj(e^{i\frac{2\pi}{N}kn}) conj(x_n) \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space(2) DFT(conj(x))=n=0∑Nconj(eiN2πkn)conj(xn) (2)

这里介绍一下共轭运算的两个公式
conj(a)conj(b)=conj(ab)conj(a)+conj(b)=conj(a+b)conj(a)conj(b) = conj(ab) \newline conj(a)+conj(b) = conj(a+b) conj(a)conj(b)=conj(ab)conj(a)+conj(b)=conj(a+b)

(2) 套用上述公式，
DFT(conj(x))=conj(∑n=0Nei2πNknxn)(3)DFT(conj(x)) = conj(\sum_{n=0}^{N}e^{i\frac{2\pi}{N}kn} x_n) \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space(3) DFT(conj(x))=conj(n=0∑NeiN2πknxn) (3)

(3) 右边部分其实就是N倍的IDFT，N可以从共轭运算中提出来
DFT(conj(x))=Nconj(IDFT(X))(4)DFT(conj(x)) = Nconj(IDFT(X)) \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space(4) DFT(conj(x))=Nconj(IDFT(X)) (4)

(4) 两边都再取一次共轭
1Nconj(DFT(conj(x)))=IDFT(X)(4)\cfrac{1}{N}conj(DFT(conj(x))) = IDFT(X) \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space(4) N1conj(DFT(conj(x)))=IDFT(X) (4)

所以FFT一样有这样的结论
IFFT(X)=1Nconj(FFT(conj(X)))IFFT(X) = \cfrac{1}{N}conj(FFT(conj(X))) IFFT(X)=N1conj(FFT(conj(X)))

参考文档：

Discrete Fourier Transform离散傅里叶变换算法

How to Compute the IFFT using only the forward FFT

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